ユークリッドの互除法（ごじょほう）とは，大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。この記事では，ユークリッドの互除法では，以下の例えば，ユークリッドの互除法を使って $390$ と $273$ の最大公約数を計算してみましょう。まず，$390$ を $273$ で割ると，商が $1$ で余りが $117$ です：よって，次に，$273$ を $117$ で割ります：よって，次に，$117$ を $39$ で割ります：割り切れました！ つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。このように，以下では，$a$ と $b$ の最大公約数のことを $\mathrm{gcd}(a,b)$ と表します。「最大公約数」は画数が多くて書きたくないからです。難しい記号ではありません。ユークリッドの互除法で用いた，を証明します。$a$ を $b$ で割った商を $q$，余りを $r$ とおくと，・ $a,b$ がともに $m$ の倍数→ $r=a-bq$ も $m$ の倍数。・ $b,r$ がともに $m$ の倍数→ $a=bq+r$ も $m$ の倍数。以上2つの不等式より，$\mathrm{gcd}(a, b)=\mathrm{gcd}(b,r)$割り算を繰り返し行うと，余りの定義より $b > r$ なので数字はどんどん小さくなっていきます。そして，最後は必ず余りが $0$ になって停止します。そのときの割った数が，求めたい最大公約数になっています。素因数分解を利用して最大公約数を求めることもできますが，大きな数字の素因数分解よりも割り算の方が圧倒的に楽（計算量が少ない）なので応用現場ではユークリッドの互除法が用いられています。 $318691696$ と $4729749$ を素因数分解するのは相当な気合いが必要になるが割り算なら簡単にできそう。ただし，実際の入試問題でこんなに大きな整数はほとんど登場しないので，最大公約数を求めるだけだったら素因数分解を用いる方法で十分です。大学入試においては，ユークリッドの互除法は最大公約数を求める問題よりも，一次不定方程式 $ax+by=1$ に関する問題で活躍します。一次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解 $(x,y)$ を求める問題を考えます。$8x+11y=1$ を満たす整数 $(x,y)$ を求める。よって，ポイントは，ユークリッドの互除法の式を用いて，ユークリッドの互除法：スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. 最大公約数 (greatest common divisor, gcd) を求める。 要件. 「$273$ と $117$ の最大公約数」 ＝「$117$ と $39$ の最大公約数」 次に，$117$ を $39$ で割ります： $117=39\cdot 3+0$ 割り切れました！ つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。
上記の手順は「整数 であるから、gcd(1071, 1029) = 21 であり、 Based on your location, we recommend that you select: You can also select a web site from the following list:Select the China site (in Chinese or English) for best site performance. 2 つの自然数 明示的に記述された最古の(問題) 1071 と 1029 の最大公約数を求める。 したがって、 整数 m, n の最大公約数 (英: Greatest Common Divisor) を gcd(m,n) と表すときに、（拡張された）ユークリッドの互除法を用いて、mx + ny = gcd(m, n) の解となる整数 x, y の組を見つけることができる。上の例の場合、m = 1071, n = 1029 のとき、 1071 = 1 × 1029 + 42 Pythonで最大公約数と最小公倍数を算出・取得する方法について、以下の内容を説明する。2つの整数の最大公約数・最小公倍数 3つ以上の整数の最大公約数、最小公倍数 ここではPythonの標準ライブラリによる方法を説明する。NumPyを使う方法は以下の記事を参照。 整数 m, n の最大公約数 (英: Greatest Common Divisor) を gcd(m,n) と表すときに、（拡張された）ユークリッドの互除法を用いて、mx + ny = gcd(m, n) の解となる整数 x, y の組を見つけることができる。上の例の場合、m = 1071, n = 1029 のとき、 1071 = 1 × 1029 + 42 こうして、前から順番に最大公約数を求めて、それを a に格納する、というのを繰り返して最大公約数を求めています。 上の gcd は再帰関数を用いていますが、2つの整数の最大公約数を求められるなら他のかき方でも構いません。 すなわち、 ここで MA: Addison-Wesley, 1973.この例の変更されたバージョンがシステム上にあります。代わりにこのバージョンを開きますか?MATLAB のコマンドを実行するリンクがクリックされました。このリンクは、Web ブラウザーでは動作しません。MATLAB コマンド ウィンドウに以下を入力すると、このコマンドを実行できます。Choose a web site to get translated content where available and see local events and offers. このように、 G = gcd(A,B) は、A と B の要素の最大公約数を返します。G 内の要素は常に非負であり、gcd(0,0) は 0 を返します。この構文はいずれの数値型の入力もサポートします。 今、このとき 逆に、したがって、手続き的に記述すると、次のようになる。
å¼æ°ã使ãå ´åã¯ã好ã¿ã§ãç¹°ãè¿ãã«ãªããã以åã®ãã¼ã¸ã§ã³ï¼AtCoderã«ããã¦ã¯ã2020å¹´4æ4æ¥ï¼ABC161ï¼ä»¥åã®ã³ã³ãã¹ãï¼Python これらの過程において、となる。 すなわち よって、最大公約数は21である。 Art of Computer Programming, Vol. 最大公約数(gcd)を簡単に求める計算プログラムです; エクセルじゃないですが、最大5つの数に対して計算可能です; 入力値は最大5桁までの整数に限ります（負荷の関係で適当に制限かけてます） 入力値が「0」の場合は無視します とおき、ユークリッドの互除法の各過程で得られた を満たす割って余りを取るという操作を、最悪でも小さい方の十進法での桁数の約 5 倍繰り返せば、最大公約数に達する（最大公約数を求めるのに、実際、上の例で出てきた、1071 と 1029 の最大公約数を求める過程は、次のように表せる。
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