\end{cases}$$離散型：$$\sum_x \sum_y f_{X,Y}(x,y)=1$$$$P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d f_{X,Y}(x,y)$$連続型：$$\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y){\rm d}y{\rm d}x=1$$$$P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=\int_{x=a}^b\int_{y=c}^d f_{X,Y}(x,y){\rm d}y{\rm d}x$$ $$X\perp Y$$   $$P(X=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)+\cdots$$$$P(X=1)=\sum_y P(X=1, Y=y)$$$$f_X(1)=P(X=1)=\sum_y P(X=1, Y=y)=\sum_y f_{X,Y}(1,y)$$$$f_X(x)=\sum_y f_{X,Y}(x,y)$$$$f_Y(y)=\sum_x f_{X,Y}(x,y)$$$$f_X(x)=\int_y f_{X,Y}(x,y){\rm d}y$$$$f_Y(y)=\int_x f_{X,Y}(x,y){\rm d}x$$  $$f_{X,Y}(x,y)=4xy\ (0\le x\le 1,0\le y\le 1)$$$$f_X(x)=\int_{y=0}^1 4xy{\rm d}y$$$$f_X(x)=\left [2xy^2 \right ]_0^1=2x$$$$f_{X,Y}(x,y)=4xy=2x\times 2y=f_X(x)f_Y(y)$$$$f_{X,Y}(x,y)=x+y\ (0\le x\le 1,0\le y\le 1)$$$$f_X(x)=\int_{y=0}^1 (x+y){\rm d}y=\left [xy+\frac{1}{2}y^2\right ]_0^1=x+\frac{1}{2}$$$$f_X(x)f_Y(y)=\left (x+\frac{1}{2}\right )\left (y+\frac{1}{2}\right )\neq f_{X,Y}(x,y)$$ 離散型：$$P(X=x,Y=y)=f_{X,Y}(x,y)$$$$\sum_x \sum_y f_{X,Y}(x,y)=1$$$$P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d f_{X,Y}(x,y)$$連続型：$$\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y){\rm d}y{\rm d}x=1$$$$P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=\int_{x=a}^b\int_{y=c}^d f_{X,Y}(x,y){\rm d}y{\rm d}x$$離散型：$$f_X(x)=\sum_y f_{X,Y}(x,y)$$$$f_Y(y)=\sum_x f_{X,Y}(x,y)$$連続型：$$f_X(x)=\int_y f_{X,Y}(x,y){\rm d}y$$$$f_Y(y)=\int_x f_{X,Y}(x,y){\rm d}x$$$$X\perp Y\Leftrightarrow f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$  シェアするフォローする 確率変数 確率変数 定義2.1. さいころを投げる試行において、1回目に6の目が出たからと言って、2回目は6の目が出やすくなったり出にくくなったりすることはなく、これらは独立な試行です。したがって積事象の確率を求める場合、事象同士が独立でない場合は、単純に掛け算による計算はできません。例えば、例題1の「コインとさいころと両方を同時に投げて、コインが表でさいころの目が1となる確率はいくらになるでしょうか」という問題に、「ただし、コインが表だった場合、2の目がその他の目より2倍出やすくなる超常現象が起こる」というような条件が追加された場合は、両事象が独立ではないため単純に掛け算によって積事象の確率を算出することはできません。統計検定統計検定統計検定 コインの表 (head) と裏 (tail) が出る確率が等しい時、確率質量関数 2つのサイコロを振るとき、出た目の和の確率分布を調べるには、確率変数を次のように取る。 . 統計学の「9-5. みなさん，こんにちはおかしょです．カルマンフィルタの参考書を読んでいると「和の平均値や分散はこうなので...」というような感じで結果のみを用いて解説されていることがあります．この記事では和の平均と分散がどのような計算で求められるのかを解説し 標本空間 このとき確率質量関数 連続型確率変数の例として、水平方向に回る確率質量関数の代わりに、混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すということを考えることができる。コインが裏であれば 特に ここでは観測値を実数とする。この定義は上記の特別な場合である。集合 確率変数 実数確率変数 加えてを満たすことである。これはこのとき確率変数 で定義される。

これは確率変数が同値と見なされるには「等しい」「ほとんど確実に等しい」「分布が等しい」といった、いくつかの異なる意味がある。強さの順に並べると、これらの正確な定義は以下の通り。 例えば、大きいサイコロと小さいサイコロをふって、A：大きいサイコロの目が偶数である事象B：小さいサイコロの目が偶数である事象とすると、P(A)=P(B)=12,P(A∩B)=14 であり、P(A∩B)=P(A)P(B) が成立するので、A と B は独立です。例えば、C：小さいサイコロの目が４の倍数である事象とすると、P(C)=16、P(B∩C)=16であり、P(B∩C)≠P(B)P(C) なので、B と C は従属です。

確率変数 X,Y が独立とは1A：任意の x,y に対して P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y) が成立する（確率が二つの積に分解できる）1B：X と Y の間には何の関係もない1Aが定義で1Bが直感的な説明です。確率変数 X,Y が無相関とは2A：E[XY]=E[X]E[Y]2B：共分散 Cov(X,Y) が 0 である2C：相関係数が 0 である2D：X と Y の間に直線的な関係がない2Aが定義。2Bと2Cは簡単に導ける性質，2Dは直感的な説明です。※むしろ2Bを定義とする文献の方が多いですが，以下では2Aを用いるので2Aを定義としました。 Cov(X,Y)=E[XY]−…

▲「お兄ちゃん、今日はこの前言ってた確率変数の話の続きを教えて！」

■「楽しみ...Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly.

みなさん，こんにちはおかしょです．カルマンフィルタの参考書を読んでいると「和の平均値や分散はこうなので...」というような感じで結果のみを用いて解説されていることがあります．この記事では和の平均と分散がどのような計算で求められるのかを解説し