つまり、2次形式が正定値かどうかを判定するためには、 正定値かどうかを判定したい2次形式の実対称行列の固有値が正になることを確認 すればOKです。 (2) 2次形式が常に負とならない場合 . 半正定値対称行列という重要な行列について解説。4つの同値な定義（性質）とその証明。証明には線形代数の重要なテクニックがいくつも登場するのでよい練習になります。 半正定値行列 を直交対角化して とおく. 例えば、\[3 y_1^2 + 0 y_2^2 \]のような2次形式を考えましょう。 正定値行列について適当に n次対称行列$$x^{\top} Ax\geq 0$$となることをいう。また$$x^{\top}Ax=0\Leftrightarrow x=0$$となることをいう。半正定値⇔すべての正定値⇔すべての 以下これの証明をする①半正定値⇒すべての対偶を示す。よって$$x^{\top}Ax=x^{\top}P\Lambda P^{-1}x$$$$=(P^{\top}x)^{\top}\Lambda (P^{-1}x)$$対称行列は転置と$$=(P^{-1}x)^{\top}\Lambda (P^{-1}x)$$となる。ここで$$\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{array}\right)$$という形をしているが、$$x^{\top}Ax=(P^{-1}Pe_i)^{\top}\Lambda (P^{-1}Pe_i)$$$$={e_i}^{\top}\Lambda e_i=\lambda_i\lt 0$$となる。よって対偶が示された。②全ての$$\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{array}\right)$$とおくと、$$x^{\top}Ax=(P^{-1}Py)^{\top}\Lambda (P^{-1}Py)$$$$=y^{\top}\Lambda y=\sum_{k=1}^{n}\lambda_k {y_k}^2\geq 0$$となる。③全ての【②】とほぼ同じ。$$\sum_{k=1}^{n}\lambda_k {y_k}^2=0\Leftrightarrow y_1=\cdots=y_n=0$$となった。④正定値⇒すべてのもし$$x^{\top}Ax=\lambda_i=0$$となってよって半正定値行列について「0を   ①②逆に ①の証明$$A=\left(\begin{array}{ccc}\langle e_1,e_1\rangle&\cdots&\langle e_1,e_n\rangle\\\vdots&\ddots&\vdots\\\langle e_n,e_1\rangle&\cdots&\langle e_n,e_n\rangle\end{array}\right)$$ を定めると$$x^{\top}Ay=\left(x_1,\ldots,x_n\right)\left(\begin{array}{ccc}\langle e_1,e_1\rangle&\cdots&\langle e_1,e_n\rangle\\\vdots&\ddots&\vdots\\\langle e_n,e_1\rangle&\cdots&\langle e_n,e_n\rangle\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_1\\\vdots\\y_n\end{array}\right)$$$$=\left(x_1,\ldots,x_n\right)\left(\begin{array}{c}\langle e_1,e_1\rangle y_1+\cdots +\langle e_1,e_n\rangle y_n\\\vdots\\\langle e_n,e_1\rangle y_1+\cdots+\langle e_n,e_n\rangle y_n\end{array}\right)$$$$=\left(x_1,\ldots,x_n\right)\left(\begin{array}{c}\langle e_1,y\rangle\\\vdots\\\langle e_n,y\rangle\end{array}\right)$$$$=x_1\langle e_1,y\rangle +\cdots x_n\langle e_n,y\rangle$$$$=\langle x,y\rangle$$ となっている。（途中の変形については、 $$x^{\top}Ax=\langle x,x\rangle\geq 0$$となっているため半正定値行列であり, ②の証明(i)双線形性行列の積が線形性（分配法則）を満たすから(ii)交代性正定値行列は前提として対称行列であるから(iii)正値性正定値行列の定義そのもの半正定値行列ここで$$\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{array}\right)$$であって$$D=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{\lambda_1}&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&\sqrt{\lambda_n}\end{array}\right)$$ とおくと、対角行列同士の積は成分ごとの積になるためここで、$$B=P D P^{-1}$$とおくと$$B^2=P D P^{-1}P D P^{-1}=P D^2P^{-1}=P\Lambda P^{-1}=A$$となる。特に特にまた正定値行列の場合はというのも$$A=\left(\begin{array}{ccc}E[(X_1-E[X_1])(X_1-E[X_1])]&\cdots&E[(X_1-E[X_1])(X_n-E[X_n])]\\\vdots&\ddots&\vdots\\E[(X_n-E[X_n])(X_1-E[X_1])]&\cdots&E[(X_n-E[X_n])(X_n-E[X_n])]\end{array}\right)$$$$a^{\top}Aa=\left(a_1,\ldots,a_n\right)\left(\begin{array}{ccc}E[(X_1-E[X_1])(X_1-E[X_1])]&\cdots&E[(X_1-E[X_1])(X_n-E[X_n])]\\\vdots&\ddots&\vdots\\E[(X_n-E[X_n])(X_1-E[X_1])]&\cdots&E[(X_n-E[X_n])(X_n-E[X_n])]\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a_1\\\vdots\\a_n\end{array}\right)$$これはつまり、任意の確率変数$$a^{\top}Aa=E[\left\{(a_1X_1+\cdots+a_nX_n)-E[a_1X_1+\cdots+a_nX_n]\right\}^2]\geq 0$$となる。つまり次に正定値となる条件について考えてみると、確率変数つまり正定値行列にならない条件とはある$$E[a_1X_1+\cdots+a_nX_n]=a_1X_1+\cdots+a_nX_n$$が成り立ってしまうこととなる。つまり$$X_j=\frac{1}{a_j}\left(E[a_1X_1+\cdots+a_nX_n]-\sum_{k\neq j}a_kX_k\right)$$というように「一次従属」みたいな形になる。（つまり、余計な情報があると考えれば良い）さて、以降は分散共分散行列が正定値行列になる場合について考えてみる。多次元$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n}\cdot \sqrt{\det{A}}}\exp{\left(-\frac{1}{2}{(x-\mu)}^{\top}A^{-1}(x-\mu)\right)}$$という形になっている。分散共分散行列が正定値行列ならばここで$$f(Py+\mu)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n}\cdot \sqrt{\det{A}}}\exp{\left(-\frac{1}{2}{Py}^{\top}P\Lambda^{-1} P^{-1}Py\right)}$$$$=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n}\cdot \sqrt{\det{A}}}\exp{\left(-\frac{1}{2}{y}^{\top}\Lambda^{-1} y\right)}$$$$=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n}\cdot \sqrt{\det{A}}}\exp{\left(-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{{y_k}^2}{\lambda_k}\right)}$$$$=\frac{1}{\sqrt{\det{A}}}\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{1}{2}\frac{{y_k}^2}{\lambda_k}\right)}\right)$$$$=\frac{1}{\sqrt{\lambda_1\cdots\lambda_n}}\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{1}{2}\frac{{y_k}^2}{\lambda_k}\right)}\right)$$$$=\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda_k}}\exp{\left(-\frac{1}{2}\frac{{y_k}^2}{\lambda_k}\right)}\right)$$ となる。

複素行列に対しては、「この定義の下で、正定値とすると、任意の実ベクトル 他方、幾つかの文献では、複素行列 実際にこの定義の下では、実行列が正定値であるための必要十分条件は任意の非零実ベクトル 一般に、任意の非零複素ベクトル まとめると、実の場合と複素の場合とを分ける特徴は、複素ヒルベルト空間上の

正定値行列の定義そのもの. shakayamiさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？ この概念は正定値行列は行列 A の定値性を次の記号を用いて表現することがある。（ただし同様の記号で対称行列(またはエルミート行列) A の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、 正定値行列は前提として対称行列であるから (iii)正値性. 線型代数学における行列の定値性（ていちせい、英: definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 平方根の存在.

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