任意一個一元一次方程式皆能化成 + = （ ≠ ）的形式，它的解為 = − 。 以下是一個例子： − = − + 它的解法是： = （移項後合併同類項） © 2020 受験辞典 All rights reserved. ありがとうございます 一元一次方程式是指一個方程式中僅含有一個變數（亦即未知數），且等號兩邊至少有一個一次單項式，且未知數的指數為 。. 2018/10/6 一次不定式の問題です。 【裏技】1次不定方程式を15秒で解く驚愕の裏技！不定方程式の解を見つける秘技！～超わかる！高校数学 - Duration: 2:09. 一次不定式の問題です。 次の一次不定方程式のすべての整数解を求めよ。で3x+7y=0の答えがx=7n、y=-3nとなってるのですが、x=-7n、y=3nはだめなのでしょうか。お願いします。 別に良いで … All Rights Reserved.「追加する」ボタンを押してください。閉じる※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。不適切な投稿でないことを報告しました。

この記事では、微分方程式について徹底解説していきます。一般解・特殊解の意味や、解き方のパターン（変数分離など）をわかりやすく説明していくので、ぜひマスターしてくださいね。目次微分方程式とは、例えば、\(x\) の関数 \(y\) と、その導関数 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) (または \(y’\)) を含んだ式は微分方程式ですね。この方程式を満たす \(x\) の関数 \(\bf{y}\) がこのまた、最大 \(n\) 階の導関数が含まれる微分方程式を「\(\bf{n}\) （例）関数を微分する回数は「微分方程式は、多くの物理現象を解き明かすのに利用されます（自由落下・振動・流動など）。また、エンジニアリング（工学）の分野でも非常に便利なツールです（材料の強度分析、機械の制御など）。物理学や工学に興味のある人は、ぜひ理解しておきたいですね！ 微分方程式の解には、一般解と特殊解の 2 種類があります。微分方程式には導関数が含まれますから、解を求めるにはそのため、一方、\(n\) 階微分方程式には、\(n\) 個の任意定数が含まれます。 一階微分方程式の初期条件は、\(\bf{y(a) = b}\) というかたちで与えられることが多いです。「それでは、微分方程式の解き方を公式パターンごとに確認していきましょう。ここでは、高校で習う一階微分方程式の解き方に限って説明していきます。一階微分方程式の解き方のうち、最もよく使われるのは次の 2 パターンです。 それでは、それぞれの解き方を見ていきましょう。\(\bf{\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)}\) の形で表すことのできる微分方程式を「直接積分形」といいます。解き方は非常にシンプルで、 具体的な手順は以下の通りです。 それでは、例題で流れを確認しましょう。\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x + 1\) の一般解を求め、初期条件 \(y(0) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\) の形になっているので、直接積分形ですね。まずは両辺を \(x\) で積分して、一般解を求めます。\(\begin{align} y &= \int(3x + 1) dx \\ &= \frac{3}{2} x^2 + x + C \end{align}\)（\(C\) は任意定数）一般解が \(\bf{\color{red}{\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + C}}\) と求まりました。初期条件の値を代入して、特殊解を求めましょう。初期条件 \(y(0) = 2\) より\(y(0) = C = 2\)よって、\(\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + 2\)これで、特殊解 \(\bf{\color{red}{\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + 2}}\) も求められましたね！ 次は変数分離形について解説します。\(\bf{\displaystyle f(y) \frac{dy}{dx} = g(x)}\) のように、 具体的な手順は以下の通りです。\(y, y’\) と \(x\) を分離しておくことで、左辺は \(y\) についての積分にできるのですね。 それでは、例題を見てみましょう。\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x^2 y\) の一般解を求め、初期条件 \(y(0) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。 \(y\) を左辺にもってくれば、変数分離形になります。両辺を \(y\) で割ることになるので、 \(y = 0\) の場合だけ別に考えます。(i) \(y = 0\) のとき\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0\) より、定数関数 \(y = 0\) は明らかに解である。 (ii) \(y \neq 0\) のとき両辺を \(y\) で割ると、\(\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3x^2\) 変数が分離できたので、両辺を \(x\) で積分します。\(\displaystyle \int \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) dx = \int 3x^2 dx\)\(\displaystyle \int \frac{1}{y} dy = \int 3x^2 dx\)\(\log |y| = x^3 + C’\) （\(C’\) は任意定数）指数と対数の関係から、「\(y =\)」に直します。\(\begin{align} y = \pm e^{x^3 + C’} \\ = \pm e^{C’} e^{x^3} \end{align}\) \(\pm e^{C’} = C\) とおくと、\(y = C e^{x^3}\) （\(C\) は任意定数）一般解が \(\bf{\color{red}{y = C e^{x^3}}}\) と求まりました。初期条件の値を代入して、特殊解を求めましょう。初期条件 \(y(0) = 2\) より\(2 = C e^{2^3} = C e^8\)\(\displaystyle C = \frac{2}{e^8}\) よって、\(\begin{align} y &= \frac{2}{e^8} e^{x^3} \\ &= 2 e^{x^3 − 8} \end{align}\)これで、特殊解 \(\bf{\color{red}{y = 2 e^{x^3 − 8}}}\) も求められました！ 微分方程式の中には、式変形すると変数分離形の解き方ができるものがあります。いくつか見てみましょう！式変形によって左辺を \(y\) の式と \(y\) の導関数の積に、右辺を \(x\) だけの式に分離できます。 このとき、定数がくっついていても問題ありません。とにかく（例） また、\(x\) が含まれていない場合は （例） 別の変数に置き換えることで変数分離形にできる代表的なパターンがあります。こちらは高校数学の中ではかなり発展的な内容なので、必要な人だけ詳しく学ぶようにしましょう。それでは、最後に練習問題を解いてみましょう。\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x}\) の一般解を求め、初期条件 \(y(1) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。 これは \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\) の形なので、直接積分形ですね。 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x}\) の両辺を \(x\) で積分すると、\(\begin{align} y &= \int \frac{5}{x} dx \\ &= 5\log|x| + C \end{align}\)（\(C\) は任意定数） 初期条件 \(y(1) = 2\) より\(2 = 5\log|1| + C\)\(C = 2\) よって、\(y = 5\log|x| + 2\)  \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y\) の一般解を求め、初期条件 \(y(−1) = 3\) を満たす特殊解を求めよ。 \(x\) がないよ？と思うかもしれません。\(f(x) = 1\) と見ると、変数分離形として解くことができます。 (i) \(y = 0\) のとき\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0\) より、定数関数 \(y = 0\) は明らかに解である。 (ii) \(y \neq 0\) のとき\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y\) の両辺を \(y\) で割って、\(\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1\) 両辺を \(x\) で積分すると、\(\displaystyle \int \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) dx = \int 1 dx\)\(\displaystyle \int \frac{1}{y} dy = \int 1 dx\)\(\log|y| = x + C’\) （\(C’\) は任意定数） \(\begin{align} y &= \pm e^{x + C’} \\ &= \pm e^{C’} e^x \end{align}\) \(\pm e^{C’} = C\) （\(C\) は任意定数）とおくと、\(y = C e^x\) 初期条件 \(y(−1) = 3\) より\(3 = C e^{−1}\)\(C = 3e\) よって、\(\begin{align} y &= 3e \cdot e^x \\ &= 3 e^{x + 1} \end{align}\)  括弧内の置き換えを利用して、次の微分方程式を解け。\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 − x − y}{x + y}\) （\(x + y = z\)） 置き換えによって解く問題ですね。置き換え後の変数で変数分離形を作ること、積分後に元の変数に戻すことがポイントです！ \(z = x + y\) とおくと、元の式は\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 − z}{z}\) …① ここで、\(z = x + y\) を \(x\) について微分すると、\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}\) ①を代入して\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{1 − z}{z} = 1 + \frac{1}{z} − 1 = \frac{1}{z}\)\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}\) から\(\displaystyle z \frac{dz}{dx} = 1\) 両辺を \(x\) について積分して、\(\displaystyle \int \left( z \frac{dz}{dx} \right) dx = \int 1 dx\)\(\displaystyle \int z dz = \int 1 dx\)\(\displaystyle \frac{1}{2} z^2 = x + C’\)（\(C’\) は任意定数） \(z = x + y\) に戻すと、\(\displaystyle \frac{1}{2} (x + y)^2 = x + C’\)\((x + y)^2 = 2x + 2C’\)\(2C’ = C\) とおくと、\((x + y)^2 = 2x + C\) 答えは、無理に「\(y =\) ~ 」にする必要はありません。\(x\) と \(y\) の関係式が示せていればOKです！以上で微分方程式の解説は終わりです。微分方程式は奥が深く、高校で勉強するのはほんの入り口です。慣れてきたら、ぜひ多くの問題にチャレンジしてみてください！CATEGORY :不定積分とは？公式や、計算問題の解き方（分数を含む場合など）を例題でわかりやすく解説！連立不等式とは？問題の解き方や数直線の書き方、文章題・絶対値・領域などの応用問題を徹底解説！球とは？体積・表面積の公式や求め方、計算問題をわかりやすく解説！なぜ公式が成り立つか（証明）も！平均値・中央値・最頻値の違い！それぞれの求め方、グラフ、使い分けなどをわかりやすく解説！円柱とは？体積・表面積の公式や求め方、単位（リットルなど）を含む計算問題をわかりやすく解説！部分積分法とは？公式やコツ、証明、logの例題などをわかりやすく解説！次の記事